在学习线性代数的过程中，我们经常会遇到“基础解系”这一概念。它不仅是矩阵方程求解的重要工具，也是理解齐次线性方程组解的结构的关键。那么，基础解系到底是怎么求出来的呢？本文将从基本定义出发，逐步讲解其求解过程，并结合实例帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、什么是基础解系？
基础解系（Fundamental Solution Set）是齐次线性方程组所有解的集合中的一组线性无关的解向量。换句话说，它是能够通过线性组合生成该方程组所有解的最小解集。基础解系的存在性与唯一性取决于方程组的系数矩阵的秩。
对于一个由 $ n $ 个未知数组成的齐次线性方程组：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是 $ n $ 维列向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量。若矩阵 $ A $ 的秩为 $ r $，则该方程组的基础解系中包含 $ n - r $ 个线性无关的解向量。
二、基础解系的求解步骤
1. 写出系数矩阵并化为行最简形
将齐次方程组的系数矩阵 $ A $ 通过初等行变换转化为行最简形矩阵（即简化行阶梯形），以便于分析主变量和自由变量。
2. 确定主变量与自由变量
在行最简形矩阵中，每个非零行的第一个非零元素所在的列称为“主元列”，对应的变量为主变量；其余变量为自由变量。
3. 用自由变量表示主变量
根据行最简形矩阵，将主变量用自由变量表达出来，从而得到通解的形式。
4. 构造基础解系
对每一个自由变量分别赋值为 1，其余自由变量为 0，代入通解中，即可得到一组线性无关的解向量，这些解向量构成基础解系。
三、举例说明
考虑以下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
将其写成矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
$$
对系数矩阵进行行变换，可以得到行最简形矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
可以看出，主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2 $ 和 $ x_3 $。根据第一行，有：
$$
x_1 = -x_2 + x_3
$$
令自由变量 $ x_2 = s $，$ x_3 = t $，则通解为：
$$
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
s
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
+
t
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$
因此，该方程组的基础解系为：
$$
\left\{
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\right\}
$$
四、总结
基础解系的求解本质上是一个从矩阵化简到变量替换再到线性组合的过程。理解主变量与自由变量的关系是关键，而通过赋值法构造解向量则是实现基础解系的有效手段。
掌握这一方法，不仅能帮助我们解决具体的线性方程组问题，还能加深对线性空间和向量空间结构的理解。希望本文能为你提供清晰的思路，助你在学习线性代数的路上更进一步。
