在高三阶段，数学作为一门基础且重要的学科，其学习质量直接影响到高考成绩。为了帮助同学们更好地掌握知识、查漏补缺，下面提供一套精心设计的高三数学模拟试题，并附有详细解答，便于大家进行自我检测和复习。
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域是（ ）
A. $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $
B. $ (-2, 2) $
C. $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $
D. $ \mathbb{R} $
2. 若 $ \sin\theta = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 在第二象限，则 $ \cos\theta = $（ ）
A. $ \frac{4}{5} $
B. $ -\frac{4}{5} $
C. $ \frac{3}{5} $
D. $ -\frac{3}{5} $
3. 已知向量 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (1, 3) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
4. 等差数列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots $ 中，若 $ a_1 + a_3 + a_5 = 15 $，则 $ a_3 = $（ ）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
5. 不等式 $ |2x - 1| < 3 $ 的解集为（ ）
A. $ (-1, 2) $
B. $ (-2, 1) $
C. $ (0, 2) $
D. $ (-1, 1) $
6. 设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则 $ f'(x) = $（ ）
A. $ 3x^2 - 3 $
B. $ 3x^2 + 3 $
C. $ x^2 - 3 $
D. $ x^2 + 3 $
7. 若 $ \log_2 x = 3 $，则 $ x = $（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
8. 在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $ 到直线 $ x + y - 3 = 0 $ 的距离为（ ）
A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B. $ \frac{\sqrt{2}}{4} $
C. $ \sqrt{2} $
D. $ 2\sqrt{2} $
9. 已知函数 $ f(x) = \log_3 (x+1) $，则其反函数为（ ）
A. $ f^{-1}(x) = 3^x - 1 $
B. $ f^{-1}(x) = 3^{x+1} $
C. $ f^{-1}(x) = 3^x + 1 $
D. $ f^{-1}(x) = \log_3 x - 1 $
10. 已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则 $ A = $（ ）
A. $ (1, 3) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
C. $ [1, 3] $
D. $ \emptyset $
二、填空题（每题5分，共5题）
11. 若 $ \tan\theta = 2 $，则 $ \sin\theta = \_\_\_\_\_ $（用分数表示）。
12. 已知 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $ 的等比数列前四项之和为 ______。
13. 直线 $ y = 2x + 1 $ 与圆 $ x^2 + y^2 = 5 $ 的交点个数为 ______。
14. 若 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx = \_\_\_\_\_ $。
15. 已知 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ |\vec{a} - \vec{b}| = \_\_\_\_\_ $。
三、解答题（每题10分，共2题）
16. 解不等式：
$$
\frac{x - 1}{x + 2} > 0
$$
17. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $，求其极值点，并判断是极大值还是极小值。
四、参考答案
一、选择题
1. A
2. B
3. A
4. B
5. A
6. A
7. A
8. A
9. A
10. A
二、填空题
11. $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $
12. 20
13. 2
14. $ \frac{14}{3} $
15. $ \sqrt{10} $
三、解答题
16. 解集为 $ (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) $。
17. 极值点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $，其中 $ x = -1 $ 是极大值点，$ x = 1 $ 是极小值点。
通过这份模拟试题的练习，可以帮助学生巩固基础知识、提升解题技巧，同时增强应试信心。建议在考试前反复演练，熟悉题型与解题思路。
