【(完整版)概率论与数理统计习题1及答案】在学习概率论与数理统计的过程中，习题练习是巩固知识、提升解题能力的重要环节。本文针对“概率论与数理统计”课程中的第一章内容，整理了一套典型习题及其详细解答，帮助学生更好地理解和掌握基础知识。
一、选择题
1. 设事件 A 和 B 是互斥事件，则以下说法正确的是：
A. $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
B. $ P(A \cap B) = 1 $
C. $ P(A) + P(B) = 1 $
D. $ P(A \cup B) = 0 $
答案：A
2. 若 $ P(A) = 0.6 $，$ P(B) = 0.5 $，且 $ P(A \cap B) = 0.3 $，则 $ P(A \cup B) = $ ?
A. 0.8
B. 0.9
C. 0.7
D. 1.0
答案：A
二、填空题
1. 设随机事件 A 的概率为 $ P(A) = 0.4 $，则其补事件的概率为 ______。
答案：0.6
2. 若 $ P(A) = 0.7 $，$ P(B) = 0.5 $，且 A 与 B 相互独立，则 $ P(A \cap B) = $ ______。
答案：0.35
三、解答题
1. 设一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机抽取两个球，求下列事件的概率：
a) 两球都是红球；
b) 一红一白。
解：
总共有 8 个球，从中任取 2 个的组合数为：
$$
C(8, 2) = 28
$$
a) 两球都是红球的情况数为：
$$
C(5, 2) = 10
$$
所以概率为：
$$
P(\text{两红}) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}
$$
b) 一红一白的情况数为：
$$
C(5,1) \times C(3,1) = 5 \times 3 = 15
$$
所以概率为：
$$
P(\text{一红一白}) = \frac{15}{28}
$$
2. 已知某地区男性中吸烟的比例为 40%，女性中吸烟的比例为 20%。若该地区男女比例为 1:1，求随机选取一个人，他是吸烟者的概率。
解：
设男性人数为 1，女性人数也为 1，总人数为 2。
吸烟人数为：
$$
0.4 \times 1 + 0.2 \times 1 = 0.6
$$
所以，随机选一人吸烟的概率为：
$$
P(\text{吸烟}) = \frac{0.6}{2} = 0.3
$$
四、综合题
设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，即 $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，已知 $ P(X=0) = e^{-\lambda} $，试求：
a) $ P(X=1) $；
b) $ P(X \geq 2) $。
解：
a) 泊松分布的概率质量函数为：
$$
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$
所以：
$$
P(X=1) = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda}
$$
b) $ P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) $
$$
= 1 - e^{-\lambda} - \lambda e^{-\lambda}
= 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda)
$$
五、总结
通过本章习题的练习，我们可以进一步理解概率的基本概念、事件之间的关系以及常见分布的应用。掌握这些基础内容，有助于后续章节的学习，如条件概率、期望、方差、大数定律等。
建议同学们在做题时注意逻辑清晰、步骤完整，同时多结合实际例子加深理解。希望本套习题能对大家的学习有所帮助！
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提示： 本文为原创内容，旨在提供学习参考，不用于商业用途。
