【微分公式大全】在数学的学习与应用中，微分是一个极其重要的工具，广泛应用于物理、工程、经济学、计算机科学等多个领域。掌握常见的微分公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将系统地整理一些常见的微分公式，帮助读者更好地理解和运用微分知识。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
$$
\frac{d}{dx} C = 0
$$
2. 幂函数
$$
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
$$
3. 指数函数
$$
\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)
$$
$$
\frac{d}{dx} e^x = e^x
$$
4. 对数函数
$$
\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}
$$
$$
\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
$$
\frac{d}{dx} \sin x = \cos x
$$
$$
\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x
$$
$$
\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x
$$
$$
\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
$$
\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
$$
\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
$$
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的运算法则
1. 加法法则
$$
\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
$$
2. 减法法则
$$
\frac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
$$
3. 乘法法则（莱布尼茨法则）
$$
\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
$$
4. 除法法则
$$
\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
5. 链式法则
$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、高阶导数公式
1. 二阶导数
$$
\frac{d^2}{dx^2} f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{d}{dx} f(x) \right)
$$
2. n阶导数
高阶导数通常需要逐次求导，某些特殊函数如多项式、指数函数、三角函数等有固定的高阶导数表达式。
四、隐函数求导
若 $ y $ 是 $ x $ 的隐函数，即由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义，则：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
五、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad (\text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0)
$$
六、微分形式
微分是导数的一种表示方式，对于函数 $ y = f(x) $，其微分为：
$$
dy = f'(x) dx
$$
七、常见函数的微分表
| 函数 | 微分 |
|------|------|
| $ y = x^n $ | $ dy = n x^{n-1} dx $ |
| $ y = e^x $ | $ dy = e^x dx $ |
| $ y = \ln x $ | $ dy = \frac{1}{x} dx $ |
| $ y = \sin x $ | $ dy = \cos x dx $ |
| $ y = \cos x $ | $ dy = -\sin x dx $ |
| $ y = \tan x $ | $ dy = \sec^2 x dx $ |
结语
掌握这些微分公式不仅是学习微积分的基础，也是解决实际问题的重要工具。通过不断练习和应用，可以更加熟练地使用这些公式，提升数学思维能力和问题解决能力。希望本文能为你的学习提供参考和帮助。
