【(完整版)线性代数试题套卷及答案】在大学数学课程中，线性代数是一门基础而重要的学科，广泛应用于工程、物理、计算机科学、经济学等多个领域。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，以下提供一套完整的线性代数试题套卷，并附有详细解答，便于复习与自测。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则 $ \det(A) $ 的值为：
A. -2
B. 2
C. -1
D. 1
2. 向量组 $ \vec{a}_1 = (1, 0, 1), \vec{a}_2 = (0, 1, 1), \vec{a}_3 = (1, 1, 2) $ 是否线性相关？
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 无法判断
D. 都不是
3. 若向量 $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ 在基 $ \vec{e}_1 = (1, 0, 0), \vec{e}_2 = (0, 1, 0), \vec{e}_3 = (0, 0, 1) $ 下的坐标表示为：
A. (2, -1, 3)
B. (1, 0, 0)
C. (0, 1, 0)
D. (0, 0, 1)
4. 矩阵 $ A $ 的特征值为 $ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2 $，则 $ \text{tr}(A) $ 是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 若 $ \vec{x} $ 是方程组 $ A\vec{x} = \vec{b} $ 的解，则下列说法正确的是：
A. $ \vec{x} $ 必定唯一
B. 方程组一定有解
C. 解空间是向量空间
D. 以上都不对
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 设 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，则其逆矩阵为 ________。
2. 向量 $ \vec{u} = (1, 2, 3) $ 与 $ \vec{v} = (4, 5, 6) $ 的点积为 ________。
3. 若 $ \vec{v} $ 是单位向量，则 $ \|\vec{v}\| = $ ________。
4. 若矩阵 $ A $ 的秩为 $ r $，则其列空间的维数为 ________。
5. 若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^T A = $ ________。
三、计算题（每题10分，共30分）
1. 计算行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
2. 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。
3. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (4, 5, 6) $，求 $ \vec{a} \times \vec{b} $。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若 $ A $ 是可逆矩阵，则 $ A^T $ 也是可逆矩阵，且 $ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $。
2. 证明：若 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n $ 是一组正交向量组，且非零，则它们线性无关。
五、综合应用题（每题15分，共15分）
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $，求：
1. 矩阵 $ A $ 的秩；
2. 矩阵 $ A $ 的列空间的一组基；
3. 方程组 $ A\vec{x} = \vec{0} $ 的通解。
参考答案
一、选择题
1. A
2. A
3. A
4. C
5. C
二、填空题
1. $ \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $
2. 32
3. 1
4. r
5. $ I $
三、计算题
1. 0
2. 特征值为 3 和 1，对应特征向量分别为 $ (1,1)^T $ 和 $ (1,-1)^T $
3. $ (-3, 6, -3) $
四、证明题
略（请根据教材知识进行推导）
五、综合应用题
1. 秩为 2
2. 列空间基为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} $ 和 $ \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} $
3. 通解为 $ t \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $，其中 $ t \in \mathbb{R} $
通过本套试题的练习，可以全面检验学生对线性代数基本概念、运算方法和理论的理解程度，有助于提升解题能力与逻辑思维水平。建议结合教材与习题集进行系统复习，以达到最佳学习效果。
