【高二数学选修2-2测试题含答案】在高中阶段，数学的学习内容逐渐加深，尤其是进入高二之后，数学课程的难度明显提升。其中，人教版高中数学选修2-2是高二学生必学的重要内容之一，涵盖了导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数等内容。为了帮助同学们更好地掌握这些知识点，下面提供一份高二数学选修2-2测试题（含答案），供同学们课后练习和复习使用。
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的导数为（ ）
A. $ 2x - 4 $
B. $ x^2 - 4 $
C. $ 2x + 4 $
D. $ x - 4 $
2. 若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = $（ ）
A. $ \frac{1}{x} $
B. $ \frac{1}{\ln x} $
C. $ x $
D. $ \ln x $
3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为（ ）
A. 0
B. 3
C. -3
D. 1
4. 下列命题中，属于合情推理的是（ ）
A. 所有偶数都是整数，2是偶数，所以2是整数
B. 数学归纳法
C. 从已知条件推出结论
D. 通过观察得出规律
5. 已知复数 $ z = 1 + i $，则 $ |z| = $（ ）
A. $ \sqrt{2} $
B. 1
C. 2
D. $ \sqrt{3} $
6. 设 $ a > 0 $，函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $ 在区间 $ [1, 3] $ 上的最大值出现在（ ）
A. 端点 $ x=1 $
B. 端点 $ x=3 $
C. 顶点
D. 无法确定
二、填空题（每小题5分，共20分）
7. 函数 $ f(x) = \sin x $ 的导数是 __________。
8. 若 $ f(x) = x^3 - 2x + 1 $，则 $ f'(1) = $ __________。
9. 复数 $ z = 2 - 3i $ 的共轭复数是 __________。
10. 用数学归纳法证明：$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $，当 $ n = 1 $ 时，左边等于 __________。
三、解答题（共50分）
11. （10分）求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的极值点及极值。
12. （10分）已知复数 $ z_1 = 1 + i $，$ z_2 = 2 - i $，求 $ z_1 + z_2 $ 和 $ z_1 \cdot z_2 $。
13. （15分）设函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求：
（1）该函数的单调区间；
（2）该函数在区间 $ [-2, 2] $ 上的最大值和最小值。
14. （15分）用数学归纳法证明：对于任意正整数 $ n $，有
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
四、参考答案
一、选择题
1. A
2. A
3. C
4. D
5. A
6. C
二、填空题
7. $ \cos x $
8. 0
9. $ 2 + 3i $
10. 1
三、解答题
11. 极值点为 $ x = 0 $ 和 $ x = 2 $，极小值为 $ f(2) = -2 $，极大值为 $ f(0) = 2 $。
12. $ z_1 + z_2 = 3 $，$ z_1 \cdot z_2 = 5 - i $。
13. （1）单调递增区间为 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (2, +\infty) $，单调递减区间为 $ (0, 2) $；
（2）最大值为 $ f(-2) = -4 $，最小值为 $ f(2) = -4 $。
14. 用数学归纳法证明即可，步骤完整。
结语：
这份测试题涵盖了选修2-2的主要知识点，包括导数、复数、推理与证明等。通过练习，可以帮助同学们巩固所学知识，提升解题能力。建议在考试前进行系统复习，并结合错题分析查漏补缺。希望每位同学都能在数学学习中不断进步！
