【线性代数试题及答案(精选版)】在大学数学课程中，线性代数是一门基础而重要的学科，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。为了帮助学生更好地掌握该课程的核心知识点，以下整理了一份精选的线性代数试题及其详细解答，适用于复习与自测。
一、选择题
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式为：
A. 1
B. -2
C. -1
D. 2
答案：B
解析：行列式计算公式为 $ |A| = ad - bc $，即 $ 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2 $。
2. 向量组 $ \alpha_1 = (1, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 1), \alpha_3 = (1, 1, 2) $ 的线性相关性是：
A. 线性无关
B. 线性相关
C. 无法判断
D. 以上都不对
答案：B
解析：构造矩阵并求秩，发现其秩小于向量个数，因此线性相关。
二、填空题
3. 若矩阵 $ A $ 是正交矩阵，则 $ A^T A = $ ________。
答案：单位矩阵
解析：正交矩阵的定义是其转置与其乘积等于单位矩阵。
4. 设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，若 $ A $ 可逆，则 $ \text{rank}(A) = $ ________。
答案：n
解析：可逆矩阵的秩等于其阶数，即满秩矩阵。
三、计算题
5. 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和特征向量。
解：
特征多项式为：
$$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1
$$
解得：
$$
(2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (2 - \lambda)^2 = 1 \Rightarrow \lambda = 1, 3
$$
对于 $ \lambda = 1 $，解方程 $ (A - I)\mathbf{x} = 0 $ 得特征向量为 $ k(1, -1)^T $；
对于 $ \lambda = 3 $，解方程 $ (A - 3I)\mathbf{x} = 0 $ 得特征向量为 $ k(1, 1)^T $。
四、证明题
6. 证明：若 $ A $ 是对称矩阵，则其所有特征值均为实数。
证明：
设 $ A $ 是对称矩阵，即 $ A = A^T $，且 $ \lambda $ 是 $ A $ 的一个特征值，对应的特征向量为 $ \mathbf{x} $，即 $ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $。
对两边取共轭转置，得：
$$
\overline{\mathbf{x}}^T A = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T
$$
将两边同时左乘 $ \mathbf{x} $，得到：
$$
\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^T \mathbf{x}
$$
$$
\overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^T \mathbf{x}
$$
由于 $ A $ 是对称矩阵，有 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \overline{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} $，因此：
$$
\lambda \mathbf{x}^T \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^T \mathbf{x}
$$
两边除以 $ \mathbf{x}^T \mathbf{x} \neq 0 $，得 $ \lambda = \overline{\lambda} $，即 $ \lambda $ 为实数。
五、应用题
7. 已知某系统由三个变量构成，其变化关系如下：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_2 + x_3 = 2 \\
x_1 + x_3 = 3
\end{cases}
$$
请用矩阵方法求解该方程组的解。
解：
写成矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
$$
使用高斯消元法或克莱姆法则求解，最终得：
$$
x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2
$$
结语：
本套试题涵盖了线性代数的基本概念、计算技巧与理论证明，旨在帮助学习者巩固知识、提升解题能力。建议结合教材与习题进行深入练习，逐步提高对线性代数的理解与应用水平。
