【微积分试题集【精选】】在数学的众多分支中，微积分以其独特的逻辑性和广泛的应用性，成为理工科学生必修的重要课程之一。为了帮助学习者更好地掌握微积分的核心概念与解题技巧，本文精选了一组具有代表性的微积分试题，涵盖导数、积分、极限、微分方程等多个方面，旨在提升读者的思维能力与实际应用水平。

一、极限与连续性

1. 求极限：

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}

$$

2. 判断函数

$$

f(x) = \begin{cases}

x^2 + 1, & x < 0 \\

2x + 3, & x \geq 0

\end{cases}

$$

在 $x=0$ 处是否连续，并说明理由。

二、导数与微分

3. 求函数 $y = \ln(\cos x)$ 的导数。

4. 设 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$，求 $f'(x)$ 并分析其定义域。

5. 利用导数求函数 $y = x^3 - 3x^2 + 4$ 的极值点及极值。

三、积分与不定积分

6. 计算不定积分：

$$

\int \frac{1}{x^2 + 4} dx

$$

7. 求定积分：

$$

\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx

$$

8. 使用换元法计算：

$$

\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx

$$

四、微分方程初步

9. 解微分方程：

$$

\frac{dy}{dx} = 2xy

$$

10. 求解初值问题：

$$

\frac{dy}{dx} = y^2, \quad y(0) = 1

$$

五、综合应用题

11. 一个圆柱形水池，底面半径为 $r$，高度为 $h$，现以恒定速率 $k$ 注入水。设水深为 $y$，求水体积随时间变化的表达式，并求出水位上升的速度。

12. 一物体沿直线运动，速度函数为 $v(t) = t^2 - 4t + 3$，求从 $t=0$ 到 $t=4$ 时间内物体的总路程。

六、思考与拓展

微积分不仅是数学工具，更是理解自然规律、解决实际问题的重要手段。通过这些试题的练习，不仅可以巩固基础知识，还能培养逻辑推理能力和数学建模意识。建议在解题过程中注重步骤清晰、方法合理，并尝试结合图形辅助理解。

结语

本试题集涵盖了微积分的基本内容和常见题型，适合课后练习或备考复习。希望同学们在不断实践中提高自己的数学素养，逐步掌握这一门极具魅力的学科。